第九节 · 定积分与无穷级数 – 数学笔记
📘 第九节

定积分与无穷级数的联系

连续版”无限加法”与离散版”无限加法”——用积分判别级数的敛散性

SECTION 01

为什么要把定积分和无穷级数扯到一起？

先把问题说清楚——定积分和无穷级数各自在解决什么问题？

🔗 两种”无限加法”
  • 定积分：$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$，$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx$ —— 连续积累：无数小面积加起来
  • 无穷级数：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n = a_1 + a_2 + \cdots$ —— 离散相加：无数项的极限

从哲学上看，它俩是一对孪生兄弟：

📐 本质联系
定积分 无穷级数
连续版”无限加法” 离散版”无限加法”
$\int f(x)\,dx$ $\sum a_n$
曲线下面积 柱子高度之和

既然我们已经搞定了广义定积分的收敛性，自然就想：

能不能借助积分来判断级数 $\sum a_n$ 收不收敛？

答案是：能！这就是本节的主角——积分判别法（Integral Test）。

SECTION 02

积分判别法（Integral Test）

📜 积分判别法定理

设 $f:[1,+\infty) \to \mathbb{R}$ 满足：

  • $f(x) \geq 0$（非负）
  • 在 $[1,+\infty)$ 上连续
  • 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减
  • $a_n = f(n)$（级数项由 $f$ 在整数点取值给出）

则无穷级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ 与广义积分 $\displaystyle\int_1^{+\infty}f(x)\,dx$ 同敛散：

$$\sum_{n=1}^{\infty}f(n) \text{ 收敛} \iff \int_1^{+\infty}f(x)\,dx \text{ 收敛}$$
翻译成人话：
  • 把 $a_n$ 看成在整数点上的”柱子高度“
  • 把连续曲线 $y=f(x)$ 看作光滑版”柱子顶边”
  • “柱子高度的和”和”曲线下面积”差不多——一个积不完，另一个也跑不掉
⚠️ 使用条件

积分判别法要求函数满足三个条件：非负、连续、单调递减。

如果函数不满足这些条件（比如会变号），就不能直接使用这个方法！

SECTION 03

用几何画面理解积分判别法

让我们用调和级数 $\sum\frac{1}{n}$ 和 $y=\frac{1}{x}$ 来理解这个定理。

📊 柱子 vs 曲线面积：$y = 1/x$

项数 N = 6
y = 1/x
柱子面积 Σf(n)
曲线下面积 ∫f(x)dx
柱子面积和
2.450
曲线下面积
1.792
夹逼关系
∫ ≤ Σ

🎯 观察：柱子面积总是 ≥ 曲线面积（因为 f 单调递减，右端点画柱子）

📐 夹逼不等式的来源

因为 $f$ 单调递减，在每个区间 $[n, n+1]$ 上：

$$f(x) \leq f(n) \quad (\forall x \in [n, n+1])$$

所以柱子面积 ≥ 曲线面积：

$$f(n) \cdot 1 \geq \int_n^{n+1}f(x)\,dx$$

把 $n=1$ 到 $N$ 的所有不等式加起来：

$$\sum_{n=1}^{N}f(n) \geq \int_1^{N+1}f(x)\,dx$$

反向用”左端点”画柱子可以得到上界，从而形成一对夹逼不等式，最后推到：级数和与积分同敛散。

SECTION 04

经典应用：p-级数的敛散性

上一节我们已经分析过 p-型广义积分，现在立即得到 p-级数的敛散性！

📜 p-级数（p-series）敛散性
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} = \begin{cases} \text{收敛} & \text{若 } p > 1 \\[8pt] \text{发散} & \text{若 } p \leq 1 \end{cases}$$
📝 推导过程

取 $f(x) = \frac{1}{x^p}$，$a_n = f(n) = \frac{1}{n^p}$。

检验积分判别法条件：

  • $f(x) = x^{-p} \geq 0$ ✓
  • 在 $[1,+\infty)$ 上连续 ✓
  • 当 $p > 0$ 时，$f(x)$ 单调递减 ✓

由积分判别法，$\sum\frac{1}{n^p}$ 与 $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx$ 同敛散。

而我们已知：$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx$ 当 $p>1$ 收敛，$p\leq 1$ 发散。

结论：p-级数的敛散性与 p-积分完全一致！

📊 p-级数部分和增长：$S_N = \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^p}$

p = 1.0
部分和 S_N
p=1 (调和级数)
当前 p
1.0
敛散性
发散
S₅₀ 值
4.499

🎯 p > 1 时曲线趋于平稳（收敛），p ≤ 1 时持续上升（发散）

特别重要：调和级数

当 $p=1$ 时，就是著名的调和级数（Harmonic Series）：

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots = +\infty$$

虽然增长得极其缓慢，但最终还是发散！这与 $\int_1^{\infty}\frac{1}{x}dx = \ln x \to \infty$ 完美对应。

📊 调和级数的缓慢发散

项数 N = 100
调和级数 H_N
5.187
ln(N)
4.605
H_N – ln(N)
0.582

💡 H_N ≈ ln(N) + γ，其中 γ ≈ 0.5772 是欧拉常数

SECTION 05

进阶例题：$\sum\frac{1}{n(\ln n)^p}$

这是一个经常出现在习题里的”积分判别 + 换元”联合出演的例子：

📝 讨论级数 $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^p}$ 的敛散性

Step 1：构造对应的广义积分

取 $f(x) = \frac{1}{x(\ln x)^p}$，$x \geq 2$。考虑积分：

$$\int_2^{+\infty}\frac{1}{x(\ln x)^p}\,dx$$

Step 2：换元——把 $\ln x$ 当整体

令 $t = \ln x$，则 $dt = \frac{1}{x}dx$，即 $\frac{1}{x}dx = dt$。

区间变换：$x=2 \Rightarrow t=\ln 2$；$x\to+\infty \Rightarrow t\to+\infty$。

$$\int_2^{+\infty}\frac{1}{x(\ln x)^p}\,dx = \int_{\ln 2}^{+\infty}\frac{1}{t^p}\,dt$$

Step 3：这又变回熟悉的 p-型积分！

  • 若 $p > 1$：$\int_{\ln 2}^{+\infty}t^{-p}\,dt$ 收敛
  • 若 $p \leq 1$：发散

Step 4：由积分判别法得到级数结果

$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^p} \begin{cases} \text{收敛} & \text{若 } p > 1 \\ \text{发散} & \text{若 } p \leq 1 \end{cases}$$
思路小结：

这个例子展示了”换元 + 积分判别”的组合拳：

  • 复习了换元积分的技巧
  • 把复杂积分化归为简单的 p-型
  • 用积分结果直接推出级数敛散性

📊 级数 $\sum\frac{1}{n(\ln n)^p}$ 的部分和

p = 1.0
当前 p
1.0
敛散性
发散
S₁₀₀ 值
—
SECTION 06

定积分篇知识地图

到这一步，”定积分”这条主线基本上算闭环了。让我们在脑子里搭一个从头到尾的知识地图：

🗺️ 定积分知识体系
1
从黎曼和出发：定积分的定义
分割区间 → 选点 → 黎曼和 $S(T,\xi) = \sum f(\xi_i)\Delta x_i$ → 极限存在且与分割、选点无关 ⇒ 可积
分割–近似–极限 带符号面积
2
可积性判定：达布上和/下和 & 振幅
上确界/下确界 $M_i, m_i$ → 达布上和/下和 $U(T), L(T)$ → 振幅 $\omega_i = M_i – m_i$ → 连续、单调有界函数可积
sup/inf 振幅 ω 一致连续
3
定积分的基本性质
线性 → 区间可加 → 大小比较 → 绝对值不等式 → 积分第一中值定理
线性 可加性 中值定理
4
微积分基本定理 & 原函数
积分函数 $F(x) = \int_a^x f(t)dt$ 连续 → FTC I: $F'(x) = f(x)$ → FTC II: $\int_a^b f = F(b) – F(a)$
面积函数的导数=高度 牛顿-莱布尼兹
5
定积分的计算技巧
换元法（链式法则反向）→ 分部积分（乘积求导反向）→ 奇偶性 & 对称区间
换元 分部 对称性
6
几何与物理应用
面积 → 弧长 $L = \int\sqrt{1+f’^2}dx$ → 旋转体体积（圆盘法、壳层法）→ 做功、质心等
弧长 体积 物理应用
7
广义定积分（反常积分）
区间无穷长 → 端点无界 → p-型积分 → 比较判别法 → 绝对/条件收敛
极限兜底 无穷区间 端点奇点
8
定积分 ⇔ 无穷级数：积分判别法
连续版加法 vs 离散版加法 → 积分判别法 → p-级数、$\frac{1}{n(\ln n)^p}$ 等敛散性
Integral Test p-级数 同敛散

📊 定积分知识结构图

SECTION 07

本节小结

📋 积分与级数的桥梁

积分判别法
$f$ 连续、正、单调递减
$\sum f(n)$ 与 $\int f$ 同敛散
p-级数
$\sum\frac{1}{n^p}$
$p>1$ 收敛，$p\leq 1$ 发散
调和级数
$\sum\frac{1}{n} = +\infty$
增长极慢但发散
进阶例子
$\sum\frac{1}{n(\ln n)^p}$
换元 + 积分判别
几何直觉
柱子高度和 ≈ 曲线下面积
夹逼 → 同敛散
知识闭环
黎曼和 → FTC → 广义积分
→ 级数联系
✅

第九节完成！定积分的主线内容到此告一段落。下一节是总复习，系统梳理全章要点与典型题型。