定积分的性质
区间可加性、线性、大小比较、绝对可积性与积分中值定理
可积性的区间传递
上一节我们知道了哪些函数可积（连续、单调）。现在问一个自然的问题：
向下继承：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，则对任意 $c \in (a,b)$，$f$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上也黎曼可积。
向上拼接：若 $f$ 在 $[a,c]$、$[c,b]$ 都黎曼可积，则 $f$ 在整个 $[a,b]$ 上也黎曼可积。
为什么”大可积 ⇒ 小可积”？
还记得振幅判据吗：$\sum \omega_i \Delta x_i \to 0$。子区间上的振幅和只是总振幅和的一部分，大的趋于0，小的必然也趋于0。
区间可加性
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，则对任意 $c \in (a,b)$：
形象理解：整个区间的面积 = 左半段面积 + 右半段面积。
📊 区间可加性可视化
线性性质
若 $f, g$ 在 $[a,b]$ 上可积，$\alpha, \beta$ 为常数，则：
一句话：积分对函数是线性的。常数可以提出来，函数可以拆开来积。
📊 线性性质演示
大小比较
- 若 $f(x) \geq 0$ 在 $[a,b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$
- 若 $f(x) \geq g(x)$ 在 $[a,b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x)\,dx \geq \int_a^b g(x)\,dx$
- 若 $m \leq f(x) \leq M$，则 $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$
📊 f ≥ g ⇒ ∫f ≥ ∫g
绝对值与”绝对可积”
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，则 $|f|$ 也可积，且：
直观理解：正负区域”抵消”后的面积 ≤ 把所有面积都算正的总和。
📊 |∫f| ≤ ∫|f| 可视化
狄利克雷函数：$f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$
在任意区间内，$\sup f = 1$，$\inf f = 0$，所以上和恒为1，下和恒为0，不可积！
这说明：$|f|$ 可积 $\not\Rightarrow$ $f$ 可积。
积分第一中值定理
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得：
等价地：$\displaystyle f(\xi) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ 就是函数在区间上的平均值。
几何意义：曲线下面积 = 某个高度 $f(\xi)$ × 宽度 $(b-a)$ 形成的矩形面积。
📊 积分中值定理可视化
若 $f$ 连续，$g$ 可积且不变号，则存在 $\xi \in (a,b)$：
本节小结
📋 定积分性质工具箱
$[a,b]$ 可积 ⇔ 子区间可积
$\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
$\int(\alpha f + \beta g) = \alpha\int f + \beta\int g$
$f \geq g \Rightarrow \int f \geq \int g$
$|\int f| \leq \int |f|$
反向不成立！
$\int_a^b f = f(\xi)(b-a)$
平均值一定能取到
第三节完成！下一节我们将学习微积分基本定理。