定积分知识体系全景

• 分割：$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，$\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$
• 选点：$\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$
• 黎曼和：$S(T,\xi) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$
• 分割模长：$\lambda(T) = \max \Delta x_i$
• 定义：若存在 $I$ 使得 $\lambda(T) \to 0$ 时 $S(T,\xi) \to I$，则 $\int_a^b f(x)dx = I$
• 几何意义：带符号面积（上方正、下方负）

• 上/下确界：$M_i = \sup f(x)$，$m_i = \inf f(x)$（$x \in [x_{i-1}, x_i]$）
• 上和/下和：$U(T) = \sum M_i\Delta x_i$，$L(T) = \sum m_i\Delta x_i$
• 振幅：$\omega_i = M_i – m_i$，$U(T) – L(T) = \sum\omega_i\Delta x_i$
• 达布判据：若 $\lambda(T) \to 0$ 时 $U(T) – L(T) \to 0$，则可积
• 重要结论：闭区间上的连续函数、单调有界函数一定黎曼可积；可积函数必有界

• 积分函数：$F(x) = \int_a^x f(t)dt$ 总是连续
• FTC I：若 $f$ 连续，则 $F'(x) = f(x)$
• FTC II（牛顿-莱布尼兹）：若 $F’ = f$，则 $\int_a^b f(x)dx = F(b) – F(a)$
• 不定积分：$\int f(x)dx = F(x) + C$

换元法（识别 $f(g(x))g'(x)$ 结构）：

分部积分法（乘积结构：幂×指数、幂×三角、ln×其它）：

对称性技巧（区间 $[-a, a]$）：

• 带符号面积：$\int_a^b f(x)dx$（上正下负）
• 几何面积：$S = \int_a^b|f(x)|dx$ 或两曲线间 $S = \int_a^b[f(x) – g(x)]dx$
• 弧长：$L = \int_a^b\sqrt{1 + [f'(x)]^2}dx$
• 旋转体体积（圆盘法）：$V = \pi\int_a^b[f(x)]^2dx$
• 壳层法：$V = 2\pi\int_a^b x\cdot f(x)dx$

无穷区间：

端点奇点：

p-型积分：

条件：$f$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续、非负、单调递减，$a_n = f(n)$

结论：$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 与 $\int_1^{+\infty}f(x)dx$ 同敛散

应用：

• p-级数 $\sum\frac{1}{n^p}$：$p>1$ 收敛，$p\leq 1$ 发散
• $\sum\frac{1}{n(\ln n)^p}$：$p>1$ 收敛，$p\leq 1$ 发散