📘 第七节
弧长与旋转体体积
定积分在”几何测量”里的两大杀器——曲线有多长？绕轴一转有多大体积？
弧长公式推导
问题：一条曲线 $y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的”长度”到底是多少？
核心思想：分割 → 近似 → 极限
- 把曲线切成很多小段
- 用折线段近似每个小段（勾股定理）
- 让分割无限细，折线趋近真正的弧
每个小线段长度用勾股定理：
$$\Delta s_i = \sqrt{(\Delta x_i)^2 + (\Delta y_i)^2} \approx \sqrt{1 + [f'(x_i^*)]^2}\,\Delta x_i$$
📜 弧长公式
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续可导，则曲线 $y = f(x)$ 的弧长为：
$$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$$
📊 折线逼近曲线弧长：y = ½x²
分段数 n =
真实曲线
折线逼近
折线总长
2.5980
真实弧长
2.9579
误差
12.2%
🎯 增大 n 观察折线如何逼近真实弧长！
弧长计算例题
📝 例：y = ½x² 在 [0,2] 上的弧长
Step 1：求导数 $f'(x) = x$
Step 2：写出弧长积分
$$L = \int_0^2 \sqrt{1 + x^2}\,dx$$
Step 3：换元（令 $x = \tan\theta$）或查表
最终 $L \approx 2.9579$
物理直观：
把 $x$ 看作时间，$(x, f(x))$ 是平面运动轨迹。
$\sqrt{1 + [f'(x)]^2}$ 是某种”合速度”的大小，积分就是”总路程”。
旋转体体积：圆盘法
把一块区域绕轴旋转一圈，会得到多大的体积？
📐 圆盘法思想
把立体沿 x 方向切成无数个”薄圆盘”：
- 每个圆盘的半径 = $f(x)$
- 截面积 = $\pi[f(x)]^2$
- 厚度 = $dx$
- 小圆盘体积 ≈ $\pi[f(x)]^2\,dx$
📜 绕 x 轴旋转体体积公式
若 $y = f(x) \geq 0$ 在 $[a,b]$ 上连续，区域绕 x 轴旋转的体积为：
$$V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$$
📊 圆盘法：y = √x 绕 x 轴旋转
切片位置 x =
y = √x
区域
圆盘截面
半径 r = √x
0.707
截面积 πr²
1.571
总体积 V
π/2
体积计算例题
📝 例 1：y = √x 在 [0,1] 绕 x 轴
截面积：$A(x) = \pi(\sqrt{x})^2 = \pi x$
$$V = \pi\int_0^1 x\,dx = \pi \cdot \frac{1}{2}x^2\Big|_0^1 = \frac{\pi}{2}$$
📝 例 2：y = x 在 [0,1] 绕 x 轴（圆锥）
$$V = \pi\int_0^1 x^2\,dx = \pi \cdot \frac{1}{3}x^3\Big|_0^1 = \frac{\pi}{3}$$
这正好是底面半径 1、高 1 的圆锥体积！
📊 体积比较：y = x vs y = √x
y = x 体积
π/3 ≈ 1.047
y = √x 体积
π/2 ≈ 1.571
结论
π/2 > π/3
💡 曲线离轴越远，旋转体体积越大
📐 柱壳法（拓展）
绕 y 轴旋转时，可以用”竖着的圆筒壳”：
$$V = 2\pi\int_a^b x \cdot f(x)\,dx$$
每个壳的体积 ≈ 周长 × 高 × 厚度 = $2\pi x \cdot f(x) \cdot dx$
统一视角：积分 = 累积
一切回到”分割–近似–极限”
不管是长度、面积还是体积，本质都是对”局部小量”的累积。
📜 三种几何量的统一公式
弧长（一维）：累积”小线段长度”
$$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$$
面积（二维）：累积”小矩形面积”
$$S = \int_a^b f(x)\,dx$$
体积（三维）：累积”小圆盘体积”
$$V = \int_a^b A(x)\,dx = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$$
📊 分割示意：从一维到三维
本节小结
📋 几何测量工具箱
弧长公式
$L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$
折线近似 → 勾股定理
$L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$
折线近似 → 勾股定理
圆盘法体积
$V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$
绕 x 轴旋转
$V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$
绕 x 轴旋转
柱壳法体积
$V = 2\pi\int_a^b x\cdot f(x)\,dx$
绕 y 轴旋转
$V = 2\pi\int_a^b x\cdot f(x)\,dx$
绕 y 轴旋转
核心思想
积分 = 累积小量
分割 → 近似 → 极限
积分 = 累积小量
分割 → 近似 → 极限
第七节完成！下一节我们将学习数值积分方法（梯形公式、辛普森公式）。