math/calculus/note/4/3/5 – 羽升空境 AIMFlly

SECTION 01

换元积分法：积分版”链式法则”

不定积分里我们学过换元：把复杂的变量替换成”更乖的小孩”。定积分里要更精致一点：上下限也要一起换！

📜 定积分换元公式

设 $\varphi$ 在 $[a,b]$ 上连续可导，$f$ 在 $\varphi$ 的值域上连续。令 $u = \varphi(x)$，则：

$$\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du$$

换元三步走：

识别模式：$f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)$（链式法则的”残骸”）
换元：令 $u = \varphi(x)$，则 $du = \varphi'(x)\,dx$
换上下限：$x=a \Rightarrow u=\varphi(a)$，$x=b \Rightarrow u=\varphi(b)$

📝 例 1：$\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx$

令 $u = x^2$，则 $du = 2x\,dx$

换上下限：$x=0 \Rightarrow u=0$，$x=1 \Rightarrow u=1$

$$\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx = \int_0^1 e^u\,du = e^u\Big|_0^1 = e – 1$$

📊 换元法可视化：∫₀¹ 2x·e^(x²) dx

原积分（x 空间）

换元后（u 空间）

原积分 ∫2xe^(x²)dx

1.7183

换元后 ∫e^u du

1.7183

e – 1 =

1.7183

📝 例 2：$\int_0^{\pi/2} \sin x \cos x\,dx$

令 $u = \sin x$，则 $du = \cos x\,dx$

换上下限：$x=0 \Rightarrow u=0$，$x=\pi/2 \Rightarrow u=1$

$$\int_0^{\pi/2} \sin x \cos x\,dx = \int_0^1 u\,du = \frac{1}{2}u^2\Big|_0^1 = \frac{1}{2}$$

🎯 何时用换元？

被积函数里出现”某个式子 + 它的导数”，如 $f(g(x))g'(x)$
三角函数整齐结构：$\sin x \cos x$，$\cos^2 x \sin x$
出现根号：$\sqrt{ax^2 + bx + c}$ 常配合三角换元

口诀：一看就像”链式法则干完活后的残骸”，那多半就是换元该出手了！

SECTION 02

分部积分法：积分版”乘积求导”

乘积求导：$(uv)’ = u’v + uv’$，移项后两边积分就得到分部积分公式。

📜 定积分分部积分公式

$$\int_a^b u\,dv = [uv]_a^b – \int_a^b v\,du$$

或写成：$\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x)\Big|_a^b – \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$

📐 LIATE 法则：如何选 u 和 dv

优先把这些当 u（按顺序）：

Logarithm（对数函数）：$\ln x$
Inverse trig（反三角）：$\arctan x$, $\arcsin x$
Algebraic（幂函数）：$x^n$
Trig（三角函数）：$\sin x$, $\cos x$
Exponential（指数函数）：$e^x$

原则：u 选成”求导会变简单”的，dv 选成”容易积分”的。

📝 例 1：$\int_0^1 x e^x\,dx$

选 $u = x$（求导变 1），$dv = e^x dx$（积分还是 $e^x$）

则 $du = dx$，$v = e^x$

$$\int_0^1 x e^x\,dx = [xe^x]_0^1 – \int_0^1 e^x\,dx = (e – 0) – (e – 1) = 1$$

📊 分部积分演示：∫₀¹ xe^x dx

[uv]₀¹ = [xe^x]₀¹

2.7183

∫v du = ∫e^x dx

1.7183

结果

1.0000

📝 例 2：$\int_0^\pi x \sin x\,dx$

选 $u = x$，$dv = \sin x\,dx$，则 $du = dx$，$v = -\cos x$

$$\int_0^\pi x \sin x\,dx = [-x\cos x]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x\,dx$$

边界项：$[-x\cos x]_0^\pi = -\pi \cdot (-1) – 0 = \pi$

积分项：$\int_0^\pi \cos x\,dx = \sin x|_0^\pi = 0$

结果：$\pi$

SECTION 03

对称性技巧：奇偶函数的妙用

当积分区间是 $[-a, a]$ 时，利用函数的奇偶性可以节省一半工作量！

📜 对称性定理

偶函数（$f(-x) = f(x)$，关于 y 轴对称）：

$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$$

奇函数（$f(-x) = -f(x)$，关于原点对称）：

$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$$

📊 奇偶函数对称性可视化

左半 ∫₋₁⁰

0.3333

右半 ∫₀¹

0.3333

总和 ∫₋₁¹

0.6667

奇偶性速查：

偶 × 偶 = 偶，奇 × 奇 = 偶，偶 × 奇 = 奇
$x^n$：n 为偶数是偶函数，n 为奇数是奇函数
$\cos x$, $|x|$, $e^{x^2}$ 是偶函数
$\sin x$, $\tan x$, $x$, $x^3$ 是奇函数

📝 例：$\int_{-2}^2 x \cos x\,dx$

$x$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数

奇 × 偶 = 奇 → 整体是奇函数

$$\int_{-2}^2 x \cos x\,dx = 0$$

直接得答案，不用算！

🎯 考试技巧

一看到区间是 $[-a, a]$，立刻条件反射：检查函数是不是奇/偶！

纯奇函数 → 积分直接是 0
偶函数 → 缩成 2 倍的 $[0, a]$ 积分
混合函数 → 拆开看哪部分是奇、哪部分是偶

SECTION 04

应用实例

📐 变力做功

力 $F(x)$ 随位置变化，从 $x=a$ 到 $x=b$ 所做的功：

$$W = \int_a^b F(x)\,dx$$

📊 变力做功：F(x) = 2x

b = 3.0

F(x) = 2x (N)

做功 W = ∫F dx

位移 (m)

3.0

F(b) (N)

6.0

做功 W (J)

9.0

📝 概率密度归一化

随机变量的密度函数 $p(x)$ 满足：

$$\int_{-\infty}^{+\infty} p(x)\,dx = 1$$

例如均匀分布 $p(x) = 1$ 在 $[0,1]$ 上：$\int_0^1 1\,dx = 1$ ✓

SECTION 05

本节小结

📋 三把计算神器

换元法
识别 $f(\varphi(x))\varphi'(x)$
令 $u = \varphi(x)$
上下限一起换！

分部积分
$\int u\,dv = [uv] – \int v\,du$
LIATE 法则选 u
幂×指数、幂×三角、ln×others

对称性
偶函数：$\int_{-a}^a = 2\int_0^a$
奇函数：$\int_{-a}^a = 0$
区间 $[-a,a]$ 立刻检查！

做题流程：

1. 看区间是否对称 → 用对称性

2. 看是否有”链式法则残骸” → 用换元

3. 看是否是两函数乘积 → 用分部积分

4. 都不行？那可能需要更高级的技巧了~

✅

第五节完成！下一节我们将学习定积分的几何应用（面积、体积、弧长）。