黎曼可积的判定准则
什么时候”曲边梯形的面积”是真实存在的？达布上和、下和与振幅判据
为什么要”判定可积性”？
上一节我们给了定积分的定义：当分割模长 $\lambda(T) \to 0$ 时，黎曼和收敛到同一个极限 $I$，就说函数黎曼可积。
有的函数看着就挺”正经”的，比如连续函数、单调函数，我们直觉上觉得它们曲线下面的面积肯定存在。
所以这节课的目的就是：把”定积分存在”这件事，变成一些更好用、可操作的判别条件。
上确界与下确界：救场选手
理想情况下，如果 $f$ 在每个小区间上连续，那它能取得最大值 $M_i$ 和最小值 $m_i$。但问题是：函数不一定连续！
最大值/最小值不一定存在，但上确界/下确界在有界非空集合上一定存在！
- 用 sup（上确界）来扮演”最大值”的角色
- 用 inf（下确界）来扮演”最小值”的角色
达布上和与达布下和
对每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$：
达布上和（Upper Darboux Sum）：
达布下和（Lower Darboux Sum）：
- $U(T)$：用每段的”最高高度”堆矩形 → 一定盖住真实面积
- $L(T)$：用每段的”最低高度”堆矩形 → 一定被盖住
📊 达布上和与下和可视化
达布定理：单调有界必有极限
不断细化分割时：
- 达布上和 $U(T)$ 单调递减，且有下界
- 达布下和 $L(T)$ 单调递增，且有上界
由单调有界原理，两个极限一定存在！
🎬 分割细化演示
初始分割：n = 2，上和较大，下和较小
振幅（Oscillation）与可积判据
在每个小区间上定义振幅：
达布上和与下和之差：
只要能证明：
就能说明 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。
📊 振幅可视化
连续函数一定可积
若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。
关键工具：一致连续性
对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得只要 $|x_1 – x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$，对所有 $x_1, x_2 \in [a,b]$ 成立。
只要 $\Delta x_i < \delta$，则 $\omega_i = M_i - m_i \leq \varepsilon$
$\varepsilon$ 任意小 → 可积！
单调函数也可积
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调且有界，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。
以单调递增为例，振幅和变成望远镜求和：
当 $\lambda \to 0$ 时，右边 $\to 0$，所以可积！
📊 单调函数：望远镜求和
黎曼可积 ⇒ 一定有界
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上一定有界。
- 假如 $f$ 无界，某个小区间里 $f(\xi_i)$ 可以大到爆表
- 构造黎曼和时，会出现”暴击矩形”
- 某些黎曼和可以大于任何数，根本收敛不起来
- 所以可积 ⇒ 有界
本节小结
📋 可积性判定工具箱
$U(T) = \sum M_i \Delta x_i$
$L(T) = \sum m_i \Delta x_i$
上和单调↓有下界
下和单调↑有上界
$\sum \omega_i \Delta x_i \to 0$
⇒ 黎曼可积
一致连续控制振幅
望远镜求和
无界会”暴击”
第二节完成！下一节我们将学习定积分的基本性质。