∫ 换元积分法
通过变量代换简化积分运算
📐 第一换元法（凑微分法）
核心思想：
利用一阶微分形式不变性（du = φ'(x)dx），通过变量代换 u = φ(x)，将复杂的积分转化为基本积分形式。
关键在于识别复合函数结构，并凑出内函数的微分。
思路点拨：观察被积函数，注意到 2x 恰好是 x² 的导数。
可以令 u = x²，则 du = 2x dx，这样就将积分转化为 ∫cos(u)du 的形式。
1
识别结构：观察到 2x 是 x² 的导数，令 u = x²
2
计算微分：du = d(x²) = 2x dx
3
代换变量：原积分 =
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计算积分：
5
回代变量：将 u = x² 代回，得最终答案：
思路点拨：sin(x) 的导数是 cos(x)。观察分子恰好是分母的导数，这是对数函数导数的典型形式。
1
令 u = 1 + cos(x)，则 du = -sin(x)dx，即 sin(x)dx = -du
2
原积分 =
3
计算得
4
回代得最终答案：
📐 第二换元法（三角换元）
适用场景：
当被积函数包含根式且难以直接求解时，通过引入新变量 x = φ(t) 来消除根号。
√(a² – x²) 型
令 x = a·sin(t)
t ∈ (-π/2, π/2)
√(a² + x²) 型
令 x = a·tan(t)
t ∈ (-π/2, π/2)
√(x² – a²) 型
令 x = a·sec(t)
t ∈ (0, π/2)
思路点拨：这是典型的 √(a² – x²) 型，应使用三角换元。令 x = a·sin(t)，
利用恒等式 1 – sin²(t) = cos²(t) 来消除根号。
1
选择代换：这是 √(a² – x²) 型，令 x = a·sin(t)，其中 t ∈ (-π/2, π/2)
2
计算微分：dx = a·cos(t)dt
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化简根式：
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代入积分：
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计算结果：∫ dt = t + C
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回代变量：由 x = a·sin(t) 得 t = arcsin(x/a)，最终答案：
思路点拨：先将分母配方成 (x+1)² + 2 的形式，然后令 u = x+1，转化为标准的反正切积分。
1
配方：
2
换元：令 u = x + 1，则 du = dx
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转化：
4
套用公式：这是标准的 ∫ du/(u² + a²) 型，结果为
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回代：最终答案为
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× 分部积分法
掌握 ∫udv = uv – ∫vdu 的精髓
📐 分部积分公式
选择u和v的黄金法则：
原则1：
v 的原函数要容易求（dv → v 要好算）
原则2：
∫vdu 要比原积分 ∫udv 简单
记忆口诀（u的优先级）：
反 → 对 → 幂 → 指 → 三
（反三角 → 对数 → 幂函数 → 指数 → 三角函数）
思路点拨：按”反对幂指三”原则，幂函数优先于三角函数，应选 u = x，dv = cos(x)dx。
这样求导后 x 会降幂为常数，积分变得更简单。
1
选择u和v：令 u = x，dv = cos(x)dx
2
求导和积分：du = dx，v = sin(x)
3
应用公式：
4
计算积分：∫sin(x)dx = -cos(x)
5
最终答案：
思路点拨：对数函数优先级高于幂函数，选 u = ln(x)，dv = xdx。
对数求导后变为 1/x，与 x²/2 相乘可以约分，使积分简化。
1
选择：u = ln(x)，dv = xdx
2
计算：du = (1/x)dx，v = x²/2
3
应用公式：
4
化简：
5
最终答案：
思路点拨：这是经典的递推类型！使用两次分部积分，第二次保持与第一次相同的选择。
最终会得到 2I = … 的形式，从而解出I。
1
设：I = ∫ e^x·sin(x)dx
2
第一次分部：令 u = sin(x)，dv = e^x dx，得
3
第二次分部：对 ∫e^x·cos(x)dx，再次令 u = cos(x)，dv = e^x dx
4
得到：
5
移项：2I = e^x(sin(x) – cos(x))
6
最终答案：
思路点拨：将 ln(x)dx 看作 ln(x)·1·dx，令 u = ln(x)，dv = dx，
这样可以”制造”出一个常数项进行积分。
1
改写：∫ln(x)dx = ∫ln(x)·1·dx
2
选择：u = ln(x)，dv = dx
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计算：du = (1/x)dx，v = x
4
应用公式：
5
化简：= x·ln(x) – x + C
6
最终答案：
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